적분개념의 발달 (리만적분에서 르베그적분으로의 이행을 중심으로)

Development of the Integral Concept (from Riemann to Lebesgue)

  • 김경화 (이화여자대학교 자연과학대학 수학)
  • 발행 : 2008.08.31

초록

19세기에 푸리에와 디리클레가 한 개의 식으로 표현되지 않을 수도 있는 "임의의" 함수를 삼각급수로 표현하는 것과 관련하여 연속함수의 적분을 다루었던 코시의 적분보다 더 일반적인 적분의 필요성을 제기하여 리만적분론으로 이끌었다. 한동안 리만적분이 가장 일반적인 적분으로 간주되었고, 이 적분론이 집중적으로 다루어진 결과 리만적분의 약점들이 보였으나, 적어도 초기에는 이것들이 리만적분에 대한 비판으로 보이지 않았다. 그러나 죠르단이 1892년에 용량개념을 소개하며 리만적분론을 측도론적 배경에서 다루었고, 이로부터 몇 년 후에 보렐이 죠르단의 용량론을 측도론으로 발전시킨 후에 르베그가 이 둘의 이론을 합쳐서 지금 "르베그적분"으로 알고 있는 적분의 새 개념을 얻게 되었다.

In the 19th century Fourier and Dirichlet studied the expansion of "arbitrary" functions into the trigonometric series and this led to the development of the Riemann's definition of the integral. Riemann's integral was considered to be of the highest generality and was discussed intensively. As a result, some weak points were found but, at least at the beginning, these were not considered as the criticism of the Riemann's integral. But after Jordan introduced the theory of content and measure-theoretic approach to the concept of the integral, and after Borel developed the Jordan's theory of content to a theory of measure, Lebesgue joined these two concepts together and obtained a new theory of integral, now known as the "Lebesgue integral".