A study on modified biorthogonalization method for decreasing a breakdown condition

Many important scientific and engineering problems require the computation of a small number of eigenvalues for large nonsymmetric matrices. The biorthogonal Lanczos method is one of the methods to solve that problem, but it faces serious breakdown problems. In this paper, we introduce a modified biorthogonal Lanczos method to find a few eigenvalues of a large sparse nonsymmetric matrix. The proposed method generates reduction matrices that are similar to those generated by the standard biorthogonal Lanczos method. We prove that the breakdown conditions of our method are less stringent than the standard method. We then implement the modified biorthogonal Lanczos method on the CRAY machine and discuss the decreased breakdown conditions.

대규모 비대칭 행렬의 특정 고유치들이 많은 중요한 과학, 공학 문제들에서 요구된다. 그 문제를 해결할 수 있는 방법 중의 하나인 biorthogonal 란초스 알고리즘은 심각한 문제점이 있는데, 어떤 특이한 상황에서 알고리즘을 계속할 수 없는 경우가 발생할 수 있다는 것이다. 본 논문에서는 기본적인 biorhogonal 알고리즘이 만드는 축소된 삼중 대각 행렬에 대하여 동일한 고유치를 발견할 수 있는 향상된 biorhogonal 란초스 알고리즘을 소개한다. 이 새로운 알고리즘은 대규모 비대칭 행렬의 특정 고유치들을 구할 수 있으며 기본적인 biorthogonal 란초스 알고리즘에 비해서 안정적인 방법이라는 것을 Cray 컴퓨터를 이용한 실험을 통해서 보여준다.