Preprocessed Cholesky-Factor Downdatings for Observation Matrices

관측행렬에 대한 전처리 Cholesky-Factor Downdating 기법

This paper introduces PGD(Preprocessed Givens Downdating)and PHD(Preprocessed Hyperbolic Downdating) algorithms, wherein a multiple-row observation matrix $Z^T$ is factorized into a partial Cholesky factor Rz, such that $Z^T$ = $Q_zR_z, Q_zQ^T_z=I$, and then Rz is recursively downdated by using GD(Givens Downdating)and HD(Hyperbolic Dondating), respectively. Time complexities of PGD and PHD algorithms are $pn^2$ ＋ $5n^3/6$ 및 $pn^2$＋$n^3/3$ flops, respectively, if p$\geq$n, while those of the existing GD and HD are known to be $5pn^2/2$ and $2pn^2$ flops,, respectively. This concludes that the factorization of observation matrices, which we call preprocessing, would improve the overall performance of the downdating process. Benchmarks on the Sun SPARC/2 system also show that preprocessing would shorten the required downdating times compared to those of downdatings without preprocessing. Furthermore, benchmarks also show that PHD provides better performance than PGD.

본 논문에서는 다행관측행렬 Z$^T$를 빠르게 downdating하기 위하여 Z$^T$의 partial Cholesky factor Rz를 계산하는 전처리 과전을 거친 후, RZ에 각각 기존의 GD(Givens Downdting)기법과 HD(Hyperbolic Downdating)기법을 적용한 PGD(Preprocessed GD)기법 과 PHD(Preprocessed HD)기법을 제안하였다. p$\times$n(p$\geq$n)크기의 다행관측행렬 ZT를 downdating 하는 데필요한 시간복잡도는 PGD 및 PHD기법을 이용한downdating의 경우 에 각각 $pn^2$＋$5n^3/6$ 및 $pn^2$ ＋$n^3/3$ flops이며, 기존의GD기법또는 HD기법을이용한 downdating에서는 각각 5np2/2 과 2np2 flops이므로 다행관측행렬 Z$^T$를 partial Cholesky factor RTZ로 분할하는 전처리 과정이 downdating알고리즘의 성능을 개선할 수 있음을 보여준다. Sun SPARC/2 시스템에서의 벤치 마크 실험 결과도 전처리 과정을 거친 알고리즘의 실행 속도가 전 처리 과정을 거치지 않은 알고리즘에 비하여 빠른 결과 를 얻었으며, 두가지 전처리 기법 중에서도 PHD 기법이 PGD기법 보다 시간복잡도 측면 에서 우수하였다.