Elliptic Curves for Efficient Repeated Additions

효율적인 반복 연산을 위한 타원 곡선

In spite of the good security of the cryptosystem on an elliptic curve defined over finite field, the cryptosystem on an elliptic curve is slower than that on a finite field. To be practical, we need a better method to improve a speed of the cryptosystem on an elliptic curve defined over a finite field. In 1991, Koblitz suggested to use an anomalous curve over $F_2$, which is an elliptic curve with Frobenious map whose trace is 1, and reduced a speed of computation of mP. In this paper, we consider an elliptic curve defined over $F_4$ with Frobenious map whose trace is 3 and suggest an efficient algorithm to compute mP. On the proposed elliptic curve, we can compute multiples mP with ${\frac{3}{2}}log_2m$+1 addition in worst case.

타원 곡선을 사용한 암호 시스템은 안전도가 높고 smart card에 응용할 수 있지만 타원 곡선에서의 연산이 유한체에서의 연산보다 느리기 때문에 실용화를 위해서는 타원 곡선위에서 고속 연산 기법, 고속 반복 연산 기법이 개발되어야 한다. 1991년 Koblitz는 Frobenious map의 trace Tr(${\varphi}$)가 1인 anomalous 타원 곡선을 제안하였고, 이 곡선의 사용으로 타원 곡선위의 한 점 P를 반복 더하는 mP를 효과적으로 계산할 수 있었다. 본 논문에서는 사전 계산을 할 경우 Koblitz의 $F_2$ 위에서의 anomalous 타원 곡선과 같이 보통의 반복 연산 방법(repeated-doubling method)보다 3배 빨리 mP를 계산할 수 있는 유한체 $F_4$위에서 정의된 타원 곡선을 제안한다. 사전 계산을 하지 않는 경우 제안된 타원곡선 위에서는 mP 계산시 가장 많은 더하기 횟수는 ${\frac{3}{2}}log_2m$+1번이다.